Matlab矩阵

Matlab系列教程4-矩阵，包括基本的矩阵创建、编辑和运算操作。

矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$排成的$m$行$n$列数表，记成

$$A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}$$

含有$m$个$n$维行向量，$n$个$m$维列向量。

矩阵创建

创建 - 直接输入

用[]定义矩阵，同一行的元素用,或空格分割，不同行的元素用;或回车分割

矩阵的大小不需要预先定义，若[]中不写元素，表示空矩阵

创建 - 从文件中读取

可以将较为常用的矩阵写入.m文件，调用时直接运行该文件，即可在工作台看到相应矩阵。除此之外，可以使用load命令调用.txt等类型的文件。

创建 - 用函数生成特殊矩阵

可以用某些函数生成具有某些特点的矩阵，常用函数如下

矩阵编辑

矩阵拼接

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A = [1 2 3 4];
B = zeros(2);
C = ones(2);
D = [A; B C]
% D =
% 
%      1     2     3     4
%      0     0     1     1
%      0     0     1     1

用,或空格衔接，以实现矩阵的横向拼接，如上例中的矩阵$B$与矩阵$C$

用;或换行衔接，以实现矩阵的纵向拼接，如上例中的矩阵$A$与拼接矩阵$[B~C]$

引用矩阵中的某些元素

对矩阵的每个维度均指定一个索引，即可引用相应的数据。

索引可以是标量（一个数）、向量（只能包含正整数）和:（表示全部）。

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A = [1  2  3  4
	 5  6  7  8
	 9 10 11 12];

A(2,2)  % 第2行第2列，即元素6
A(3,[2,4])  % 第3行第2和第4列，即[10 12]
A(1:3,3)  % 第3列第1行至第4行，即[3;7;11]
A(3,:)  % 第3行所有元素，即[9 10 11 12]
A(:,4)  % 第4列所有元素，即[4;8;12]

矩阵变形

• 变换维度：通过函数reshape(X,m,n)实现：将$X$中的数据按列取出，再根据指定的维度，从左至右按列填充

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  t = 1:12; A = reshape(t, 2, 6) % A = % 1 3 5 7 9 11 % 2 4 6 8 10 12 B = reshape(A, 4, 3) % B = % 1 5 9 % 2 6 10 % 3 7 11 % 4 8 12

  也可以仅指定一个维度，让函数自适应另一个维度的大小

  1 2	C = reshape(B, 3, []); % 重构为3*4的矩阵 D = reshape(C, [], 2); % 重构为6*2的矩阵

• 旋转与翻转

  函数	说明
  rot90(X) rot90(X,k)	将矩阵$X$逆时针方向旋转$90^o(\times k)$
  fliplr(X)	将矩阵$X$左右翻转
  flipud(X)	将矩阵$X$上下翻转
  flipdim(X,dim)	dim=1时对行翻转，dim=2时对列翻转

三角阵/对角阵的抽取

提取对角线/用对角线构造对角阵

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v = 1:3;
A = diag(v)  % 生成以向量v为对角线的对角阵
%      1     0     0
% A =  0     2     0
%      0     0     3

v = diag(A)  % 提取矩阵A的对角线，生成列向量
%      1
% v =  2
%      3

A = diag(v,2)  % 生成以向量v为主对角线上第2条对角线的对角阵
%      0     0     1     0     0
%      0     0     0     2     0
% A =  0     0     0     0     3
%      0     0     0     0     0
%      0     0     0     0     0

v = diag(A,2)  % 提取主对角线上第2条对角线，生成列向
%      1
% v =  2
%      3

提取上/下三角阵

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A = ones(3);
tril(A)  % 提取下三角阵
%      1     0     0
%      1     1     0
%      1     1     1

tril(A,1)  % 从主对角线上第一条对角线开始提取下三角阵
%      1     1     0
%      1     1     1
%      1     1     1

triu(A)  % 提取上三角阵
%      1     1     1
%      0     1     1
%      0     0     1

triu(A,-1)  % 从主对角线下第一条对角线开始提取上三角阵
%      1     1     1
%      1     1     1
%      0     1     1

几个函数虽然功能不同，但第二个参数中对角线的定位规则一致，正数代表主对角线上的对角线，负数代表下面的对角线，提取时取闭区间。

矩阵运算

加减运算

要求进行运算的矩阵形状一致（即各维度长度一致），计算时对应位置相加减即可，有交换律和结合律。

乘运算

若有三个矩阵$C=A\times B$，则对矩阵$C$中的任意一个元素$c_{ij}$，有

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}$$

即

$$\begin{pmatrix} ~\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{is}\\ ~\\ ~\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} ~&b_{1j}&~&~\\ ~&b_{2j}&~&~\\ ~&\vdots&~&~\\ ~&b_{sj}&~&~\\ \end{pmatrix} ~=~ \begin{pmatrix} ~\\ ~&c_{ij}&~&~\\ ~\\ ~\\ \end{pmatrix}$$

其中矩阵$A$的列数（第二维度）需要等于矩阵$B$的行数（第一维度）。

矩阵乘运算不满足交换律。

点乘运算

两个形状一致的矩阵，对应位相乘，得到一个形状不变的矩阵。

除法运算 - 左除

线性方程组$D\times X=B$，若$D$非奇异，即它的逆矩阵存在，则可解出X=inv(D)*B=D\B

条件：$D$的阶数等于$B$的行数。（$D$非奇异表明$D$是方阵）

除法运算 - 右除

线性方程组$X\times D=B$，若$D$非奇异，即它的逆矩阵存在，则可解出X=B*inv(D)=B/D

条件：$B$的列数等于$D$的阶数。

• 除号偏向哪边，哪边要求非奇异
• 使用除法运算解线性方程组比使用inv求逆的方法更迅速，且拥有更小的残差

常用矩阵运算函数

关于矩阵的条件数与“病态”：

矩阵的条件数用于刻画矩阵的“病态”程度，定义为：

$$cond(A)_v=||A^{-1}||_v||A||_v,~v=1,2,...,F$$

它是一个不小于1的实数，当$cond(A)_v>>1$时，说矩阵$A$是“病态”的，反之则是“良态”的。

奇异值分解 SVD

SVD分解是指将一个$m\times n$的矩阵$A$表示为三个矩阵乘积的形式：$USV^T$，其中$U$为$m$阶方阵，$V$为$n$阶方阵，$S$为$n$阶对角阵，其对角线元素为矩阵$A$的奇异值且满足：

$$s_1\geq s_2\geq\cdots\geq s_r>s_{r+1}=\cdots=s_n=0$$

其中$r$为矩阵$A$的秩。

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s = svd(A);  % 返回矩阵A的奇异值列向量s
[U,S,V] = svd(A);  % 返回矩阵A的奇异值分解因子U、S和V