Matlab向量与多项式

Matlab系列基础教程2-向量与多项式，包括向量的生成与运算、多项式的生成与运算。

向量是由个数组成的有序数组，记成或，叫做维向量，向量的第个分量称为。

向量生成与引用

向量生成

直接输入

向量用[]扩起来，元素之间用,或空格隔开，;则相当于换行

冒号法 t = 区间左端点 : 增量 : 区间右端点;

t = first:increment:last;
% first     - 从first开始（闭区间）
% last      - 到last为止（闭区间）
% increment - 增量，默认为1
t = 0:2:10;  % [0 2 4 6 8 10]
t = 0:5;     % [0 1 2 3 4 5]
t = 10:-2:0; % [10 8 6 4 2 0]

利用函数linspace(区间左端点, 区间右端点, 个数)

linspace(first_value, last_value, number);
% 在指定范围内等间隔采样
% first_value - 从first_value开始（闭区间）
% last_value  - 到last_value结束（闭区间）
% number      - 包含number个元素
x = linspace(0,10,5);  % [0 2.5 5 7.5 10]

利用函数logspace(区间左端点, 区间右端点, 个数)

logspace(first_value, last_value, number);
% 在指定范围内等间隔采样，但区间取10的幂
% first_value - 从10^first_value开始（闭区间）
% last_value  - 到10^last_value结束（闭区间）
% number      - 包含number个元素
x = logspace(1,3,3);  % [10 100 1000]

可以同时采用多种方法创建向量，并使用[]将它们合并

1 2	x = [2:4 4,5,6 linspace(10,20,2)]; % (2 3 4) (4 5 6) (10 20)

向量引用

格式	说明
`x(index)`	表示向量中的第个元素
`x(i:j)`	表示向量中的第到第个元素
`x(i:delta:j)`	表示向量中的第到第个元素，每个取一个值

向量的索引从1开始
可以用另一个向量作为索引，去访问向量，向量只能包含正整数，且不能超过的索引范围
1
2
3
4
5
x = 1:2:20;
n1 = [1,4,9,7];
n2 = 2:3:10; % [2,5,8]
x(n1) % [1 7 17 13]
x(n2) % [3 9 15]

向量运算

四则运算

相当于对向量中的元素分别进行四则运算

x = 2:2:10; % [2 4 6 8 10]
x+1  % [3 5 7 9 11]
x-1  % [1 3 5 7 9]
x*2  % [4 8 12 16 20]
x/2  % [1 2 3 4 5]

矩阵运算

向量可以看做特殊的矩阵，可以用矩阵运算的规则进行向量运算

x = 2:2:10; % [2 4 6 8 10]
y = 1:5; % [1 2 3 4 5]
x+y  % [3 6 9 12 15]
x-y  % [1 2 3 4 5]
x.*y % [2 8 18 32 50] 按位乘
x./y % [2 2 2 2 2] 按位除
x*y' % 110 矩阵乘法

点积（数量积、内积）

向量和的点积定义为其中，向量和向量必须长度相同。

1
2
3

dot(a,b);
sum(a.*b);
sum(a*b');

向量积（外积、叉积、叉乘）

向量和的向量积模长为其方向与向量和所在平面垂直，且遵循右手定则。

cross(a,b);  % 返回a和b的叉积，此时a和b必须是3维的向量
% 计算其他维度叉积可以通过help cross查看对应方法
x = [1,0,0];
y = [0,1,0];
z = cross(x,y);  % z = [0,0,1]

ps. 点积的结果是一个数，向量积的结果是一个同维向量

多项式

在Matlab中，用系数向量表示相应的多项式，以便进行多项式计算：系数中的0不能省略，如

多项式的创建

使用系数向量p，通过函数poly2sym(p)创建多项式，返回sym类型多项式

1	s = poly2sym([1,2,1]); % x^2 + 2*x + 1

使用根向量root，通过函数poly(root)创建多项式，返回系数向量

1
2
3

root = [1 2];
p = poly(root);  % [1 -3 2]
poly2sym(p)  % x^2 - 3*x + 2

也可以编写字符串str，再通过eval(str)函数将其转换为sym类型。

sym类型表示“符号表达式”，也可以直接用于计算，后续的章节中包含相关内容。

多项式运算

多项式运算通过系数向量进行。

加减运算直接用+-实现，相加、相减的两个向量必须大小相等。

多项式乘法

相当于执行两个数组的卷积，用函数conv(p1,p2)实现，返回结果多项式的系数向量

1
2
3

p1 = [1 2 1];
p2 = [1 2 1];
conv(p1,p2)  % [1 4 6 4 1]

多项式除法

相当于执行两个数组的解卷，用函数deconv(p,q)实现，返回结果多项式的系数向量

[k, r] = deconv(p, q);
% k - p除以q的商
% r - p除以q的余式
% p = conv(q, k) + r;

p1 = [1 2 1];
p2 = [1 2 1];
p = conv(p1,p2);  % [1 4 6 4 1]
deconv(p, p1)  % [1 2 1]

多项式求导

通过函数polyder(p)实现，返回结果多项式的系数向量

1 2	p = [1 1 1 1 1]; polyder(p) % [4 3 2 1]