Matlab向量与多项式

Matlab系列基础教程2-向量与多项式，包括向量的生成与运算、多项式的生成与运算。

向量是由$n$个数$a_1,a_2,\cdots,a_n$组成的有序数组，记成$a=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}$或$a^T=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，叫做$n$维向量，向量$a$的第$i$个分量称为$a_i$。

向量生成与引用

向量生成

1. 直接输入

   向量用[]扩起来，元素之间用,或空格隔开，;则相当于换行

2. 冒号法 t = 区间左端点 : 增量 : 区间右端点;

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   t = first:increment:last; % first - 从first开始（闭区间） % last - 到last为止（闭区间） % increment - 增量，默认为1 t = 0:2:10; % [0 2 4 6 8 10] t = 0:5; % [0 1 2 3 4 5] t = 10:-2:0; % [10 8 6 4 2 0]

3. 利用函数linspace(区间左端点, 区间右端点, 个数)

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   linspace(first_value, last_value, number); % 在指定范围内等间隔采样 % first_value - 从first_value开始（闭区间） % last_value - 到last_value结束（闭区间） % number - 包含number个元素 x = linspace(0,10,5); % [0 2.5 5 7.5 10]

4. 利用函数logspace(区间左端点, 区间右端点, 个数)

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   logspace(first_value, last_value, number); % 在指定范围内等间隔采样，但区间取10的幂 % first_value - 从10^first_value开始（闭区间） % last_value - 到10^last_value结束（闭区间） % number - 包含number个元素 x = logspace(1,3,3); % [10 100 1000]

可以同时采用多种方法创建向量，并使用[]将它们合并

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x = [2:4 4,5,6 linspace(10,20,2)]; 
% (2 3 4) (4 5 6) (10 20)

向量引用

• 向量的索引从1开始

• 可以用另一个向量$n$作为索引，去访问向量$x$，向量$n$只能包含正整数，且不能超过$x$的索引范围

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  x = 1:2:20; n1 = [1,4,9,7]; n2 = 2:3:10; % [2,5,8] x(n1) % [1 7 17 13] x(n2) % [3 9 15]

向量运算

四则运算

相当于对向量中的元素分别进行四则运算

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x = 2:2:10; % [2 4 6 8 10]
x+1  % [3 5 7 9 11]
x-1  % [1 3 5 7 9]
x*2  % [4 8 12 16 20]
x/2  % [1 2 3 4 5]

矩阵运算

向量可以看做特殊的矩阵，可以用矩阵运算的规则进行向量运算

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x = 2:2:10; % [2 4 6 8 10]
y = 1:5; % [1 2 3 4 5]
x+y  % [3 6 9 12 15]
x-y  % [1 2 3 4 5]
x.*y % [2 8 18 32 50] 按位乘
x./y % [2 2 2 2 2] 按位除
x*y' % 110 矩阵乘法

点积（数量积、内积）

向量$a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$的点积定义为

$$a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$$

其中，向量$a$和向量$b$必须长度相同。

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dot(a,b);
sum(a.*b);
sum(a*b');

向量积（外积、叉积、叉乘）

向量$a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$的向量积模长为

$$|a\times b|=|a|\cdot|b|\cdot sin<a,b>$$

其方向与向量$a$和$b$所在平面垂直，且遵循右手定则。

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cross(a,b);  % 返回a和b的叉积，此时a和b必须是3维的向量
% 计算其他维度叉积可以通过help cross查看对应方法
x = [1,0,0];
y = [0,1,0];
z = cross(x,y);  % z = [0,0,1]

ps. 点积的结果是一个数，向量积的结果是一个同维向量

多项式

在Matlab中，用系数向量表示相应的多项式，以便进行多项式计算：

$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n \leftrightarrow p=[a_0,a_1,\cdots,a_n]$$

系数中的0不能省略，如$2x^3-x^2+3\leftrightarrow[2,-1,0,3]$

多项式的创建

使用系数向量p，通过函数poly2sym(p)创建多项式，返回sym类型多项式

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s = poly2sym([1,2,1]);  % x^2 + 2*x + 1

使用根向量root，通过函数poly(root)创建多项式，返回系数向量

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root = [1 2];
p = poly(root);  % [1 -3 2]
poly2sym(p)  % x^2 - 3*x + 2

也可以编写字符串str，再通过eval(str)函数将其转换为sym类型。

sym类型表示“符号表达式”，也可以直接用于计算，后续的章节中包含相关内容。

多项式运算

多项式运算通过系数向量进行。

加减运算直接用+-实现，相加、相减的两个向量必须大小相等。

多项式乘法

相当于执行两个数组的卷积，用函数conv(p1,p2)实现，返回结果多项式的系数向量

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p1 = [1 2 1];
p2 = [1 2 1];
conv(p1,p2)  % [1 4 6 4 1]

多项式除法

相当于执行两个数组的解卷，用函数deconv(p,q)实现，返回结果多项式的系数向量

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[k, r] = deconv(p, q);
% k - p除以q的商
% r - p除以q的余式
% p = conv(q, k) + r;

p1 = [1 2 1];
p2 = [1 2 1];
p = conv(p1,p2);  % [1 4 6 4 1]
deconv(p, p1)  % [1 2 1]

多项式求导

通过函数polyder(p)实现，返回结果多项式的系数向量

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p = [1 1 1 1 1];
polyder(p)  % [4 3 2 1]